Для того, чтобы проанализировать мелодии, специалисты Университета Ватерлоо в Канаде обратились к теории групп — разделу математики, который изучает симметрию и преобразования. Они упростили мелодии до базовых групп нот и проанализировали, как типичные музыкальные изменения влияют на структуру. К таким изменениям относятся транспозиция (сдвиг мелодии вверх или вниз), инверсия (переворачивание), ретроградность (проигрывание нот в обратном порядке) и трансляция (перемещение во времени).
Ученые разработали систему, в которой каждой из 12 нот хроматической гаммы присваивается число от одного до двенадцати. Благодаря такому подходу мелодии становятся доступны для алгебраического анализа. Затем математики выделила два типа симметрии: тональную, связанную с самими нотами, и позиционную, которая определяет расположение нот в последовательности.
Разделив эти два слоя, ученые вывели формулы, показывающие, как можно трансформировать мелодию, сохраняя ее глубинную структуру или намеренно изменяя ее предсказуемым образом.
«Нашей целью было построить ясный математический мост между абстрактной алгеброй и опытом прослушивания музыки, — говорит аспирантка инженерного факультета Университета Ватерлоо Ольга Ибрагимова. — После того, как мы преобразовали мелодии в понятные математические формы, мы увидели, что композиторы интуитивно использовали симметрии на протяжении веков».
Анализ выявил симметричные отношения во многих мелодиях, которые помогают объяснить, почему определенные музыкальные фразы воспринимаются нашим мозгом как идеально цельные и завершенные. Именно такие мелодии лучше всего воспринимаются нашим мозгом и запоминаются
«Нас удивило, насколько четко математика разделяет тональную структуру и позиционную, — отмечает профессор Кристофер Неханив. — Эта двойственность помогает выявлять закономерности, которые не очевидны на слух или при простом взгляде на нотную запись, но которые безошибочно работают при восприятии мелодии нашим мозгом».
Результаты этой работы могут помочь композиторам лучше понять, что делает мелодии удачными, и открывают новые творческие возможности — ведь теперь есть своего рода формула для создания мелодий, следующих определенным правилам симметрии, которые можно просто рассчитать математически.
Ранее ученые доказали, что во сне наш мозг может решить любую проблему.
