Математик Левент Альпёге, работающий в компании Anthropic, буднично написал в X: «hello there the jacobian conjecture is false thanx» — «привет, гипотеза Якобиана ложна, спасибо». По его словам, контрпример к одной из самых известных задач алгебраической геометрии ему помог найти новый большой языковой модуль Claude Fable 5, открытый публике всего несколькими неделями ранее.
Гипотеза Якобиана — это утверждение, сформулированное в двумерном виде еще в 1884 году, а в общем виде для любого числа измерений — в 1939‑м, и касается оно математических функций, работающих с полиномами. Согласно этой гипотезе, можно «аккуратно» переставить точки в пространстве полиномиальной функцией так, чтобы не смять и не «склеить» их, и при этом иметь полиномиальное же обратное отображение.
Если представить функцию как машину, которая по заданному набору координат на выходе выдает новый набор, то якобиан — это мера того, как эта машина локально растягивает или сжимает пространство. Гипотеза утверждала: если якобиан — одна и та же ненулевая константа во всех точках, то существует полиномиальное обратное преобразование, возвращающее все точки на места. Для двумерного случая гипотеза проверена для огромного числа частных случаев, но общий доказательный статус оставался открытым более ста лет.
За это время математиками всего мира выдвигались как громкие, но в итоге ошибочные доказательства гипотезы, так и работы, подтверждающие ее правоту, но лишь частично. Гипотеза попала в список проблем XXI века Стивена Смейла и считалась настолько естественной, что многие были уверены: она верна, просто доказательство еще не найдено. При этом казалось, что если она все же ложна, то контрпример не должен быть чудовищно сложным. Как отмечал еще в 2017 году один из пользователей Math Stack Exchange, «вполне возможно, что какой‑нибудь толковый студент просто напишет формулу контрпримера в один экран».
Именно так все и произошло. Альпёге опубликовал явное полиномиальное отображение в трехмерном пространстве, у которого якобиан тождественно равен −2, но при этом разные входные точки переходят в одну и ту же выходную. То есть преобразование необратимо, а значит, гипотеза Якобиана в размерностях три и выше — неверна. Благодаря компактности формулы другие математики смогли быстро проверить вычисления; контрпример, по текущим оценкам, признан корректным. Двумерный случай при этом остается открытой задачей.
Принципиально интересно здесь и другое: в отличие от недавних прорывов в науке, где ИИ-модели помогали собирать сложные доказательства или соединять идеи из разных областей, этот результат оказался почти обманчиво простым. Главная трудность заключалась не в тонкой теории, а в навигации по гигантскому пространству возможных полиномиальных отображений. Альпёге задействовал модель как поисковый инструмент, а не как «генератор текстов о доказательствах», и ИИ, перебирая варианты, выдал контрпример, который человек затем проверил и осознал.
Этот случай подчеркивает еще одну потенциально важную роль ИИ в математике будущего: помощь в поиске неожиданных объектов — функций, графов, конфигураций, — о существовании которых люди даже не догадывались. Что это будет означать для профессии математиков, пока сказать рано, но уже ясно, что ИИ становится не просто удобным помощником, но полноценным партнером в изучении самых глубоких вопросов математики.
Ранее обычный ноутбук решил сложнейшую квантовую задачу.