Результаты исследования были опубликованы в журнале Meccanica.
В различных инженерных конструкциях происходит механическое воздействие одних частей на другие — рычаги взаимодействуют с приводами, трутся друг о друга шестерни, поршни двигаются в цилиндрах, пролеты мостов вибрируют от проезда машин и ветра, натягивая удерживающие их тросы.
Поэтому расчет механических свойств нужен для любых деталей любых механизмов. Без таких расчётов невозможно сконструировать никакое изделие. К механическим свойствам тел относятся упругость — способность твердых материалов возвращаться в изначальную форму при деформации, поверхностное трение — сопротивление, которое создается при взаимодействии поверхностей двух тел — и усталостная прочность — свойство материала не разрушаться с течением времени под действием изменяющихся рабочих нагрузок.
Все движения описываются дифференциальными уравнениями, которые, как правило, явно не решаются. Но при этом их решения важны для расчетов конструкций. Чтобы получить приближенные решения, необходимо провести численные расчеты. Микронеоднородности — шероховатости — трущихся деталей оказывают сильное влияние на их поведение.
Чем мельче и сложнее внутренняя структура и поверхность изделия, тем сложнее проводить численные расчеты, поскольку «шаг» решетки для численных расчетов должен быть мельче. Это ведет к миллионам и миллиардам неизвестных параметров, которые компьютер должен найти. Для упрощения используются методы теории усреднения, а также оптимизации численного анализа.
«Мы провели аналитическое и численное исследование влияния шероховатостей поверхности на механические свойства тел — упругость, поверхностное трение, усталостная прочность», — рассказал один из авторов статьи Григорий Чечкин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений отделения математики механико-математического факультета МГУ.
Ученые применили два подхода к анализу таких задач. Один — это применение теории усреднения и асимптотических методов, которые позволяют упростить исходную задачу для численных расчетов. Второй — прямые расчеты с помощью принципиально новых методов численного анализа, которые позволили решить задачу непосредственно даже в случае упругопластических деформаций и фрактальной поверхности тел.
Упругопластические деформации — это те деформации, у которых один участок тела после устранения воздействия приобретает исходную форму, а другой эту форму теряет. Фракталы — это объекты, у которых геометрическая структура повторяется на все более мелком уровне. Снежинки, облака, ржавая железная поверхность — всё это фракталы. Работа длилась несколько лет. В ходе исследования авторы использовали методы теории граничного усреднения и принципиально новые методы численного анализа.
«Мы будем развивать предлагаемую теорию и методы для аналогичных задач в перфорированных областях (пористых телах), в частности, фрактального строения — пространственной фрактальной структуры внутри тела. Мы провели нашу работу для упрощения расчета свойств материалов с шероховатостями. Теперь можно существенно проще и быстрее рассчитывать свойства материалов, деталей механизмов и их механические свойства», — заключил ученый.
Это тоже интересно:
