Дело в том, что в области точных наук ученым нередко приходится работать с бесконечно большими и бесконечно малыми числами. Ранее для них использовались символьные обозначения, в частности знак ∞, и в итоге полученные результаты были верными, но не вполне точными. Новый подход позволяет получать численные ответы при выполнении операций с бесконечностью.
Давным-давно для записи чисел люди использовали небольшой набор символов, а иногда и просто палочки. Эти символы и их группы называют нумералы и применяют для записи чисел. Например, 10 и Х — это два разных нумерала, выражающих одно и то же число в арабской и римской системах записи.
Некоторые народы до сих пор используют простейшие системы записи чисел. Например, племя Пираха, живущее в наши дни в Амазонии, применяет очень простую систему нумералов для счета: один, два, много. Пираха не знают о существовании чисел больше двух, и у них такие операции, как 2+1 и 2+2, дают одинаковый результат, то есть «много». Они не в состоянии различать числа 3 и 4, не могут выполнять арифметические операции c ними и в целом не в состоянии сказать что-либо об этих числах, поскольку в их языке нет ни слов, ни концепций для этого.
Уровень сложности математических операций в разных цивилизациях рос постепенно. Народы создавали свои системы записи, в которых большие числа можно было написать, используя один или несколько относительно простых символов. Огромным прорывом в математике стало «изобретение» ноля, а затем и возникновение степенной записи. А теперь нам не надо даже рисовать ноли, чтобы обозначить миллиард, мы просто пишем 109.
А что делать с числами, которым, на первый взгляд, невозможно дать определение? Бесконечно большие и бесконечно малые — как написать то, что сложно принять? Мы окружены предметами, имеющими контуры, поэтому при попытках понять отсутствие границ наш мозг буквально «зависает».
Традиционный взгляд на концепцию бесконечности можно описать следующим образом. Предположим, некий жадный человек отделяет от пирога огромный кусок. Но как этот жмот ни старается, все равно отрезаемый кусок оказывается меньше изначально целого пирога.
А вот если бы выпечка обладала «бесконечным» размером, закон «кусок меньше целого» действовать бы перестал. Это трудно представить, но наш жадина умудрился бы отрезать себе часть, равную по размерам нетронутому пирогу! Таким образом, при выполнении действий с бесконечностью большинство привычных математических операций перестает работать.
Долгое время для обозначения бесконечности ученые пользовались просто символом ∞, что причиняло неудобства при исследованиях в высшей математике. Но предложенная российским математиком Ярославом Сергеевым новая методология позволяет вычислить у определенных бесконечных множеств число их элементов — то есть кусков рассматриваемого пирога. Прежде всего Ярослав Сергеев предложил исключить из используемых нумералов символ ∞, традиционно применяемый для представления бесконечности, и ввел вместо этого гроссуан (большую единицу, 1).
С помощью новой методологии можно определить, что количество четных натуральных чисел равно 1/2, нечетных натуральных чисел — 1/2, всех натуральных чисел — 1, а целых чисел — 21+1. Если мы из множества целых чисел исключим ноль, то количество оставшихся чисел будет равно 21. Тогда можно начать оперировать с бесконечностью и рассчитать число элементов с точностью до одного у определенных множеств.
Поскольку данная система записи богаче, новый подход позволяет провести уточненные расчеты и дает возможность различить большее количество бесконечных чисел. И при этом ни в коем случае не противоречит существующим математическим взглядам, но дополняет их. Это доказал известный итальянский логик профессор Габриэле Лолли, а подтвердили активное использование новой системы ученые в России, Европе и США для решения задач оптимизации, численного дифференцирования, перколяции (протекания жидкостей или электричества через различные материалы), клеточных автоматов, решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Данный подход дает ответы на серию классических вопросов и парадоксов, в которых фигурируют бесконечно большие и бесконечно малые числа, в частности на первую и восьмую проблемы Гильберта. На основе новой системы счисления построен программный прототип компьютера, выполняющего численные (не символьные!) вычисления с конечными, бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
За ряд открытий в математике Ярослава Сергеева наградили престижными международными премиями, в том числе «Аль-Хорезми»-2016 и премией международного конгресса World Congress in Computer Science, Computer Engineering, and Applied Computing в 2015 году.
Это тоже интересно: